1. 多重积分的引入与定义

$\int_a^bf(x)dx$ 是计算函数 $f(x)$ 的曲线在 x 轴上 [a, b] 这段线段上方所围成的面积。

现在，我们把这个概念升级到二维空间。例如， $\iint_{Q}f$ 就是计算一个函数曲面 $z=f(x,y)$ 在 xy 平面上的一个矩形区域 $Q=[a,b]\times[c,d]$ 方所围成的体积。

再进一步，$\iiint_Qf$ 是在一个三维的长方体区域 $Q$ 内对一个函数 $f(x,y,z)$ 进行积分。这个在物理世界中很难直观地想象成“四维体积”，但可以这样理解它的物理意义：

假设 $f(x,y,z)$ 代表长方体 $Q$ 内每一点的密度，那么 $∭Qf(x,y,z)dV$ 计算出的就是这个长方体的总质量。
或者，如果 $f(x,y,z)$ 代表空间中每一点的温度或电荷密度，那么积分结果就是对整个区域内这些物理量的累加。

矩形的定义：

在一个 $n$ 维空间（$\mathbb{R}^{n}$）中，一个闭合的矩形区域 $Q$ 被定义为 $n$ 个闭合区间的笛卡尔积。公式为：$Q=[a,b]=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$

当 $n=2$ 时，就是你在xy平面上的一个矩形，x的范围是 $[a1,b1]$，y的范围是 $[a2,b2]$。
当 $n=3$ 时，就是xyz空间中的一个长方体。

体积的定义： $$vol(Q)=(b_1-a_1)\cdots(b_n-a_n)$$ 在二维情况下，这个vol(Q) 就是我们通常所说的面积；在三维情况下，它就是体积。数学家们用“体积”这个词来统一描述所有维度下的“大小”或“测度”。

2. 多重积分的计算方法

我们非常熟悉一维积分（定积分）$\int_a^bf(x)dx$ 。它的几何意义是：计算函数曲线 y = f(x) 在 x 轴上 [a, b] 这段线段上方所围成的面积。

现在，我们将这个概念“升维”。一维的区间 [a, b] 被扩展成了一个二维的有界集合 Q，这个 Q 就是我们的积分区域。在这一节里，你可以先把 Q 想象成一个简单的矩形区域。

我们的函数也从 f(x) 升级到了 f(x, y)。可以把它想象成一个漂浮在 xy 平面上方的曲面，f(x, y) 的值就是点 (x, y) 对应在曲面上的高度。

如果说一维积分是在一条线上“拉起”一块面积，那么二重积分就是在 xy 平面的一块区域 Q 上“堆起”一个体积。这个体积就是由底面 Q 和顶面曲面 z = f(x, y) 所围成的立体。

这个“体积”就用二重积分来表示，记为 $\iint_Qf$ 或者更详细的 $\iint_Qf(x,y)dxdy$ 。这里符号 dx 和 dy 在二重积分的定义中不扮演任何角色，但它们在计算和变换中很有用。

基本思想和一维情况相同，都是微分最小面积元。

![[Pasted image 20250922115627.png]]

$$\iint_Qf:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta x_i\Delta y_i$$

这里需要注意，和一维一样，不是所有 $f$ 可以积分的，有当一个函数 $f$ 足够“好”（比如是连续的），才能保证无论我们用什么方式去分割区域、去选择采样点，最终的极限都是同一个值。这时，我们才说这个函数是“可积的”。

这个定义虽然很好，但是这个极限的定义在计算上几乎是不可行的，实际上我们算二重积分基本都是用切片法：

前提条件
- 函数 $f$ 在一个矩形区域 $Q=[a,b]=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]$ 上有定义且有界。
- 这个函数 $f$ 的二重积分 $\iint_{Q}f$ 存在（即我们想求的那个“体积”是确实存在的）。
- 对于定义域内任意一个 $y$，其对应的“截面面积” $A(y)=\int_{a_1}^{b_1}f(x,y)dx$ 都存在（即每个切片都有明确的面积）。
- 最后，将所有这些截面面积 $A(y)$ 沿着y轴进行积分的结果 $\int_{a_2}^{b_2}A(y)dy$ 也存在（即所有切片面积可以被成功地“累加”起来）。
如果以上条件都满足，那么那个抽象的二重积分就可以通过一个具体的、可操作的累次积分来计算。
核心公式: $$\iint_Qf=\int_{a_2}^{b_2}A(y)dy=\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x,y)dx\right)dy$$

富比尼定理

如果一个函数 $f$ 在一个矩形区域 $Q$ 上是连续的（这是一个非常容易判断的条件），那么你就可以得到两个保证：

它的二重积分 $\iint_{Q}f$ 一定存在。
可以用两种顺序的累次积分来计算它，并且结果完全相等。

公式: $$\iint_Qf=\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x,y)dx\right)dy=\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}f(x,y)dy\right)dx$$

3. 将积分理论扩展到更一般的情况

不连续点情况

即使函数 $f$ 在矩形区域 $Q$ 上存在不连续点，只要这些不连续点构成的集合“不是太大”，那么 $f$ 的积分（即那个“体积”）就依然存在。

数学上如何精确地衡量一个点集是“足够小”还是“太大”，需要引入一个概念，叫做零测度或者更直观的零面积。

定义：

设 $X$ 是平面 $\mathbb{R}^2$ 中的一个有界子集。如果对于任意给定的 $ϵ>0$，我们都能找到一个有限的矩形集合，它们的并集能够完全覆盖住 $X$，并且这些矩形的面积之和不超过 $ϵ$，那么我们就说X具有零面积。

哪些集合是“零面积”的？
- 有限个点：比如几个孤立的“灰尘点”。你总可以用足够小的矩形（比如边长为 $\sqrt{\epsilon/n}$ 的正方形）把 $n$ 个点都盖住，总面积不会超过 ϵ。
- 一条光滑的曲线或线段：比如照片上的“划痕”。你可以用一个非常非常“瘦”的长条矩形把它盖住。比如要覆盖 $x$ 轴上[0,1]的线段，你可以用一个长为1，宽为 $ϵ$ 的矩形，其面积就是 $ϵ$，可以任意小。
- 有限条光滑曲线的并集：同样也是零面积。
什么不是“零面积”？
- 任何一个有确定面积的图形，比如一个实心的正方形或者圆形。你永远不可能用总面积小于0.01的矩形去覆盖一个面积为1的正方形。
积分的黎曼和定义：我们将区域分割成小块，用 $f(x_i,y_i)\Delta A_i$ 来近似体积。如果函数 $f$ 在某处不连续，那么在包含那个不连续点的小块里，这个近似可能很不准确。但是，如果所有这些“不准确”的区域（即包含不连续点的区域）的总面积可以被控制得任意小（零面积），那么它们对最终积分总和的贡献也会趋近于零。因此，积分的极限值依然可以稳定地存在。

定理：

如果函数 $f$ 在一个矩形区域 $Q$ 上有定义且有界（bounded），并且 $f$ 在 $Q$ 中的不连续点集是零内容的，那么二重积分 $\iint_Qf$ 存在。

![[Pasted image 20250922122236.png]]

这张图就是一个例子，函数 $f$ 的不连续点集是两条曲线，所以曲线是“零面积”集合，只要函数有界，且其不连续点集是零面积的，那么它的二重积分就存在因此，即使这个函数的图像看起来是“破碎”的，我们仍然可以计算它在区域Q上所围成的总体积。

目前我们知道有两个定理：

函数连续，积分存在且可交换顺序计算。
函数可不连续，但瑕疵集是零面积，只保证积分存在

现在我们有如下定理：

除了函数有界、不连续点集 $D$ 为零面积外，还必须满足一个新条件：

平行于坐标轴的每一条直线，与不连续点集D最多只有有限个交点

可以把这个条件想象成用两束“激光扫描线”来检测瑕疵集 $D$ ：

垂直扫描：拿一束垂直的激光线（比如 $ x = c$ ），从左到右扫过整个区域Q。在扫描的任何时刻，这束激光线都只能与“瑕疵” $D$ 有有限个交点。
水平扫描：再拿一束水平的激光线（比如 $y = c$ ），从下到上扫过整个区域 $Q$。同样，在任何时刻，它也只能与 $D$ 有有限个交点。

哪些瑕疵集能通过检测？

有限个点。
有限条倾斜的、或弯曲的线段/曲线。
有限个不含垂直或水平线段的多边形边界。

哪个会检测失败？

一个垂直的线段，比如 $x = 0.5, 0 \le y \le 1$。当垂直扫描线扫到 $x = 0.5$ 的位置时，它会与这个瑕疵集产生无穷多个交点。

如果一个有界函数 $f$，其零面积的瑕疵集 $D$ 通过了我们的“扫描线”检测，那么我们就可以得出结论：

它的二重积分不仅存在，而且可以被计算为两种顺序的累次积分。

$$\iint_Qf=\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x,y)dx\right)dy=\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{a_2}^{b_2}f(x,y)dy\right)dx$$ 因此，只要 $\iint_Qf$ 存在，我们就说 $f$ 在 $Q$ 上是可积的

积分的基本运算法则

可加性 (Additivity)

性质：两个可积函数的和 $f + g$，也一定是可积的。
公式：和的积分等于积分的和。 $$\iint_Q(f+g)=\iint_Qf+\iint_Qg$$

齐次性 (Homogeneity)

性质：一个可积函数 $f$ 乘以任意一个常数 $k$ 后，得到的 $kf$ 也一定是可积的。
公式：常数可以被提到积分号的外面。 $$\iint_Q(kf)=k\left(\iint_Qf\right)$$

保序性 / 单调性 (Order-Preserving Property / Monotonicity)

性质：如果在一个区域 $Q$ 上，函数 $g$ 的值处处都大于等于函数 $f$ 的值（即 $g$ 的曲面始终在 $f$ 的曲面上方或与之重合），那么函数 $g$ 在这个区域上的积分（体积）也必然大于等于函数 $f$ 的积分（体积）。
公式: 如果在 $Q$ 上 $f≤g$，那么 $$\iint_Qf\leq\iint_Qg$$

积分的三角不等式 (Triangle Inequality for Integrals)

性质：函数积分的绝对值，小于或等于函数绝对值的积分。前提条件是 $|f|$ 也是可积的。
公式: $$\left|\iint_Qf\right|\leq\iint_Q|f|$$

任意有界情况

面对一个不规则的区域 $S$ ，我们没有直接的工具来处理它。但我们已经精通于处理矩形区域 $Q$ 上的积分。首先，我们找到一个足够大的、简单的矩形 $Q$，把这个不规则的区域 $S$ 完全“包”在里面。然后，我们“改造”原来的函数 $f$，创造一个新函数，我们称之为 $f_{ext}$ (extended function)。这个新函数的规则是：

在我们真正关心的区域 $S$ 内部，它的值和原来的 $f$ 完全一样。
在区域 $S$ 外部、但在矩形 $Q$ 内部的其他地方，它的值一律为零。

这个新函数的数学表达式为：

$$f_{ext}(x,y)=\begin{cases}f(x,y)&,\mathrm{if~}(x,y)\in S\0&,\mathrm{if~}(x,y)\in Q\backslash S&&\end{cases}$$

这里的 $Q\backslash S$ 指的是在矩形 $Q$ 内但在 $S$ 外的部分。最后，我们就可以定义在不规则区域 $S$ 上的积分，把它等同于在那个我们熟悉的矩形 $Q$ 上对新函数 $f_{ext}$ 的积分。 $$\iint_Sf:=\iint_Qf_{ext}$$ 数学证明：

如果原始函数 $f$ 在区域 $S$ 上是连续的，那么我们构造的新函数$f_{ext}$

在 $S$ 内部, $f_{ext}=f$，是连续的。
在 $S$ 外部, $f_{ext}=0$，也是连续的。
唯一的“突变”只会发生在从 $S$ 内部到外部的分界线上，也就是边界 $∂S$ 上。因此，$f_{ext}$ 的不连续点集是 $∂S$ 的一个子集。

因此，如果边界 $∂S$ 是一个“零面积”集（对于大多数图形，如圆、多边形，其边界都是线，面积为零），那么 $f_{ext}$ 的不连续点集（作为零面积集的子集）也必然是零面积的。

一个有界函数，只要其不连续点集是零面积的，它在矩形 $Q$ 上就是可积的。这就从理论上证明了，为什么我们的“置零”技巧是可行的。

I型区域 (Type I Region)

一个区域S被称为I型区域，如果它的x坐标被两个常数a₁和b₁夹住，而它的y坐标被两个关于x的函数φ₁(x)和φ₂(x)夹住。 $$S={(x,y)|a_1\leq x\leq b_1\And\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)}$$ ![[Pasted image 20250922132456.png]]

这种区域我们称之为“垂直简单区域”，因为如果你用一条垂直的线去穿过它，与它相交的部分总是一条完整的线段。

因为区域在垂直方向上是由函数界定的，所以我们必须先对y进行积分。

积分限设定：

内层积分 (对y)：积分限就是那两个变化的边界函数，从下边界φ₁(x)积到上边界φ₂(x)。
外层积分 (对x)：积分限就是那两个固定的常数，从左边界a₁积到右边界b₁。

若f在I型区域 $S$ 上连续，则： $$\iint_Sf(x,y)dxdy=\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$

II型区域 (Type II Region)

一个区域T被称为II型区域，如果它的y坐标被两个常数a₂和b₂夹住，而它的x坐标被两个关于y的函数ψ₁(y)和ψ₂(y)夹住。 $$T={(x,y)|a_2\leq y\leq b_2\And\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y)}$$ ![[Pasted image 20250922132547.png]]

这种区域我们称之为“水平简单区域”，因为如果你用一条水平的线去穿过它，与它相交的部分也总是一条完整的线段。

因为区域在水平方向上是由函数界定的，所以我们必须先对x进行积分。

积分限设定：

内层积分 (对x)：积分限是左右两个边界函数，从左边界ψ₁(y)积到右边界ψ₂(y)。
外层积分 (对y)：积分限是上下两个固定常数，从下边界a₂积到上边界b₂。

若f在II型区域 $T$ 上连续，则： $$\iint_Tf(x,y)dxdy=\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx\right)dy$$

不连续性情况

即使函数f在区域的边界上不连续，只要它在内部是连续的，并且整体有界，我们的累次积分公式依然成立。放宽了函数连续性要求后，我们的定理如下：

函数f在整个区域 $S$ 上是有界的 (bounded)。这意味着函数值不会跑到无穷大。
函数f只需要在区域的内部 $S^0$ 上是连续的 (continuous)。这意味着，我们允许函数在边界上存在不连续点。

如果满足上述两个新条件，那么两种形状的积分公式依然成立： $$\iint_Sf(x,y)dxdy=\int_{a_1}^{b_1}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$ $$\iint_Tf(x,y)dxdy=\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx\right)dy$$

4. 三重及更高维积分

多重积分的概念可以从二维空间延伸到任意 $n≥3$ 的 $n$ 维空间，并且其理论发展与 $n=2$ 的情形是完全类似的。

$n$ 维积分的定义：

被积函数 (Integrand)：我们的积分对象 $f$ 是一个标量场，它在一个 $n$ 维空间中的有界集合 $Q$ 上有定义。对于 $n=3$ ，就是我们熟悉的 $f(x,y,z)$，它给空间中每一点赋予一个数值（如该点的密度、温度、压强等）。

$n$ 重积分的记号就是简单地增加积分号的数量，或者在末尾写出所有变量： $$\int\cdots\int_Qf\text{ 或 }\int\cdots\int_Qf(x_1,...,x_n)dx_1\cdots dx_n$$

定义过程（黎曼和）：

分割 (Partition)：将 $n$ 维的“超矩形”区域 $Q$，分割成许多个小的 $n$ 维“超矩形”区块 $Q_i$。
取样 (Sample)：在每一个小区块 $Q_i$ 中，任取一个样本点 $v_i$。
求和 (Sum)：计算每个小区块的“超体积” $vol(Q_i)$，乘以该区块样本点的函数值 $f\left(v_{i}\right)$，然后将所有这些乘积加起来：$\sum_{i=1}^nf(v_i)\cdot vol(Q_i)$。
取极限 (Limit)：当分割无限加密，即小区块的数量 $n$ 趋向于无穷大（$n→∞$），并且每个小区块的体积都趋向于0时，如果上述的和收敛到一个唯一的极限，那么这个极限就是 $n$ 重积分的值。

定义公式： $$\int\cdots\int_Qf:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(v_i)\cdot vol(Q_i)$$

下面我们先讨论三维下的情况。在最常见的三维情况下，我们不再使用抽象的 $(x_1,x_2,x_3)$，而是回归到我们熟悉的坐标 $(x,y,z)$。三重积分的记号也就是三个积分符号： $$\iiint_Qf\quad,\text{或}\quad\iiint_Qf(x,y,z)dxdydz$$ 三维空间中的广义富比尼定理如下：

定理条件：
1. 函数f在一个长方体区域 $Q=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]$ 上是有界的。
2. 函数f的不连续点集D是“零体积”或“零内容”的。
  - 这是“零面积”概念的升维。在三维空间中，零体积的集合可以是有限个点、有限条曲线、甚至是有限个曲面。例如，一个气球的表面，虽然有面积，但它不占据“体积”，所以它是一个零体积集。
3. “扫描线”条件依然存在：平行于任何坐标轴的直线，与不连续点集D最多只有有限个交点。这保证了我们在进行“切片”时，每一个切片以及切片上的每一条线都是“行为良好”的，可以进行一维积分。
定理结论：
- 如果满足以上所有条件，那么这个三重积分就存在，并且可以被计算为一个累次积分。
- 核心公式（展示了其中一种积分顺序）： $$\iiint_Qf=\int_{a_3}^{b_3}\left(\int_{a_2}^{b_2}\left(\int_{a_1}^{b_1}f(x,y,z)dx\right)dy\right)dz=\ldots$$ 我们在二维平面上处理通用区域的定理在三维空间中同样适用。在二维平面上，一个I型区域的特点是，它的x坐标被两个常量夹住，而y坐标被两个函数夹住。

现在我们把这个思想升维。我们不再用常量x来“打桩”，而是用一个二维的区域Q作为“地基”。然后，在这个地基的上方，z坐标被两个函数曲面夹住。这类三维区域S的正式数学定义：

$$S={(x,y,z)|(x,y)\in Q\mathrm{~and~}\varphi_1(x,y)\leq z\leq\varphi_2(x,y)}$$

这类三维区域的计算公式，条件是放宽了的，即函数f在区域S的内部 $S^0$ 上是连续的。这允许函数在物体的表面（边界）上不连续。

公式: $$\iiint_Sf(x,y,z)dxdydz=\iint_Q\left(\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dxdy$$

面积，体积和维度

$\iint_S1$ 的数值等于 $S$ 的面积，$\iiint_{S}1$ 的数值等于 $S$ 的体积，在这里 1 是一个无量纲的纯数，因为当我们积分一个本身带有单位的函数时，维度会增加。例如，如果 $h(x,y)$ 是一个以米(unit)为单位的高度函数，那么 $\iint_Sh(x,y)dA$ 的结果（体积）的单位就是 $unit\times unit^2=unit^3$ 。但当被积函数是无量纲的1时，积分的维度就等于积分微元的维度。

5. 积分的变量替换

通过变量替换，将一个复杂的、不熟悉的积分，转化为一个简单的、我们能够识别和计算的积分。这个转化的“桥梁”公式，就叫做转换公式 或变量替换公式。

这里我们重新审视一下我们熟悉的u换元法，但用更精确的数学语言来描述。

前提设置：
- 我们有一个映射（或变换）$x=φ(t)$。这个变换将t世界里的一个开区间 $D=(a,b)$，映射到x世界里的一个新区间 $D^∗=φ(D)$。
- 为了让这个变换“行为良好”，函数 $φ$ 需要满足几个条件：
  1. C¹ 函数：$φ$ 的导数存在且连续，保证了变换是“光滑”的。
  2. 1-1 (one-to-one) 和 $\varphi^{\prime}\neq0$：导数不为零保证了函数是严格单调的（要么一直增加，要么一直减少），这也就保证了变换是“一对一”的，不会把 t 世界里的两个不同点映射到 x 世界的同一个点上，使得变换可逆。

换元的“三件套”：

变量替换：$x=φ(t)$
微分替换：$dx=φ′(t)dt$
积分限替换：$t$ 的下限 $a$ 变为 $x$ 的下限 $φ(a)$ ；$t$ 的上限 $b$ 变为 $x$ 的上限 $φ(b)$ 。

将这三件套代入，我们就得到了熟悉的换元公式： $$\int_a^bf(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx$$ 我们可以给出一个稍微不同的写法，这个写法对于理解后续的多维推广至关重要。 $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx=sgn(\varphi^{\prime})\int_{\mathcal{D}^*}f(x)dx$$

$sgn(φ')$ 是一个符号函数，它只取 $φ'$ 的正负号（+1 或 -1）。
情况1：$φ$ 是增函数。那么$φ > 0$，$sgn(φ') = 1$。此时 $φ(a) < φ(b)$，积分限是从小到大，一切正常。
情况2：$φ$ 是减函数。那么$φ' < 0$，$sgn(φ') = -1$。此时 $φ(a) > φ(b)$，积分限是从大到小。根据定积分的性质 $\int_c^d=-\int_d^c$，我们有 $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx=-\int_{\varphi(b)}^{\varphi(a)}f(x)dx$。这个负号恰好就被 $sgn(φ')$ 捕捉到了

这种写法的好处是，无论 $φ$ 是增是减，我们都可以把它统一写成一个更普遍的形式，即 $\int_{\mathcal{D}}f(\varphi(t))|\varphi^{\prime}(t)|dt=\int_{\mathcal{D}^*}f(x)dx$

这里我们用了导数的绝对值 $|φ'(t)|$，这正是未来我们要在多维变量替换中使用的雅可比行列式的绝对值的雏形。

我们可以把换元公式用一个绝对值形式重写 $$\int_{\mathcal{D}}f(\varphi(t))|\varphi^{\prime}(t)|dt=\int_{\mathcal{D}^*}f(x)dx$$ $|φ'(t)|$ 的作用：可以把 $|φ'(t)|$ 理解成一个“长度缩放因子”。它衡量了 $t$ 世界里一段无限小的长度 $dt$ ，在被函数 $φ$ 映射到 $x$ 世界后，其长度被拉伸或压缩了多少倍。为了保证等式两边的“总和”（积分）相等，我们必须在 $t$ 世界的积分中乘上这个修正系数。

这个思想可以被推广到更高维度。当我们把一个无穷小的“面积”或“体积”从一个坐标系变换到另一个时，这个“缩放因子”就是雅可比行列式

定理设置：

我们有一个从n维u空间到n维x空间的映射（变换） $x=φ(u)$。
这个变换需要满足一些“良好”的条件：它是一对一的、光滑的 (C¹)，并且其雅可比行列式不为零 ($detD\varphi(a)\neq0$)。行列式不为零保证了变换不会将一个有体积的区域“压扁”成没有体积的区域。

公式： $$\int\cdots\int_{\mathcal{D}}f(\varphi(u))|\det D\varphi(u)|du_1\cdots du_n=\int\cdots\int_{\mathcal{D}^*}f(x)dx_1\cdots dx_n$$

这个公式通常是从右往左使用，目的是将一个在复杂区域 $D^∗$ 上的积分，转化到一个在简单区域 $D$（比如矩形）上的积分。
$f(φ(u))$：将被积函数用新的坐标 $u$ 来表达。
$∣det Dφ(u)∣$：这就是多维空间中的“面积/体积缩放因子”。它是一个标量，衡量了在 $u$ 空间中一个无限小的立方体，在被映射到 $x$ 空间后，其体积被缩放了多少倍。它完美地接替了一维情况中 $|φ'(t)|$ 的角色。

这个抽象的公式最经典的应用，就是我们熟悉的直角坐标 $(x, y)$ 与极坐标 $(r, θ)$ 之间的变换。

变换函数：$x=rcosθ,y=rsinθ$。这里的 $(r, θ)$ 就是 $u$，$(x, y)$ 就是 $x$。

雅可比矩阵 $Dφ$：由所有偏导数构成的矩阵。 $$D\varphi=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\theta}\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$$ 雅可比行列式 $det~Dφ$： $$\det D\varphi=(\cos\theta)(r\cos\theta)-(-r\sin\theta)(\sin\theta)=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r$$ 缩放因子：$∣det~Dφ∣=∣r∣=r$ (因为半径r通常取非负值)。

Class 4 - Multiple Integrals

beautifulremi